Inhaltsverzeichnis TOC o “1-2” h z u 1

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TOC o “1-2″ h z u 1. Einleitung PAGEREF _Toc507103445 h 32. Die vollständige Induktion PAGEREF _Toc507103446 h 42.1Begriffsherkunft PAGEREF _Toc507103447 h 43. Anwendung der vollständigen Induktion PAGEREF _Toc507103448 h 53.1Gaußsche Summenformel PAGEREF _Toc507103449 h 53.2Summenformel für Quadratzahlen PAGEREF _Toc507103450 h 73.3Summenformel für Kubikzahlen PAGEREF _Toc507103451 h 84. Verknüpfung zur Integration PAGEREF _Toc507103452 h 95. Fazit PAGEREF _Toc507103453 h 11Literaturverzeichnis PAGEREF _Toc507103454 h 12
EinleitungIn meiner Facharbeit geht es um die Beweismethode der „Vollständigen Induktion”, die sich für den Beweis von Formeln natürlicher Zahlen eignet. Im Unterricht werden komplexe Zusammenhänge und Gleichungen vorgestellt und nicht immer hergeleitet und auf Gültigkeit überprüft. Mit der vollständigen Induktion möchte ich zeigen, dass der Beweis einer Formel auch auf einfachem und leicht verständlichem Wege erfolgen kann und nicht so kompliziert sein muss, wie von vielen erwartet. Nach Vorschlag des Themas recherchierte ich viel über die Induktion und einige Beispiele und stieß direkt auf die berühmte Summenformel von Gauß, auch der „kleine Gauß” genannt, die er schon mit neun Jahren herausfand. Das inspirierte mich und regte mich an, mich weiter mit dem Thema zu beschäftigen und meine Facharbeit über die Induktion zu schreiben, die den Beweis solcher Formeln ermöglicht.

Zunächst werde ich die vollständige Induktion vorstellen und die Beweismethode erläutern. Danach zeige ich anhand von mehreren Beispielen, unter anderem der Summenformel für natürliche Zahlen, Quadratzahlen und Kubikzahlen, wie man die vollständige Induktion konkret anwendet und die Gültigkeit dieser Formeln für natürliche Zahlen beweist. Danach werde ich die Relevanz der zuvor bewiesenen Summenformeln durch Herleitung der Integralfunktion einer quadratischen Funktion durch die Untersumme zeigen. Integrale wurden erst vor Kurzem im Unterricht besprochen und daher dient diese Herleitung als Anschluss an das vorher erlangte Wissen. Außerdem gehe ich noch auf den Begriff der „Vollständigen Induktion” ein und zeige dessen ursprüngliche Bedeutung. Schließlich erläutere ich noch die bestehende Kontroverse zur Akzeptanz der vollständigen Induktion in der Mathematik.

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Die vollständige InduktionDie vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren für Aussagen, die für natürliche Zahlen gelten sollen. Man versucht dabei von der Gültigkeit einer Aussage für eine bestimmte natürliche Zahl auf die Gültigkeit der Aussage für alle darauffolgenden natürlichen Zahlen zu schließen. Die Beweisführung ist dabei im Wesentlichen in zwei Schritte unterteilt: der Induktionsanfang und der Induktionsschritt.
Es sei eine Aussage A(n) gegeben und man möchte diese für natürliche Zahlen beweisen. Zunächst prüft man beim Induktionsanfang, ob die Aussage A(n) für eine kleinste spezifische Zahl n0 gültig ist. Diese „erste” Zahl ist meistens n0=0 oder n0=1 (wenn eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll), es kann sich aber auch um eine andere natürliche Zahl handeln. Nur wenn diese Gültigkeit gegeben ist, kann man fortfahren. Ist dies der Fall, untersucht man, ob die Aussage, unter Annahme, dass diese für eine beliebige natürliche Zahl gelte, auch für die darauffolgende natürliche Zahl (n+1) gilt. Man überprüft also, ob sich aus der Gültigkeit von der Aussage für A(n) auch die Gültigkeit für A(n+1) herleiten kann. Ist dies gegeben, ist der Beweis auch schon komplett. Man hat gezeigt, dass aus der Gültigkeit von A für eine beliebige Zahl n auch die Gültigkeit von A für n+1 folgt. Außerdem hat man verifiziert, dass A für n0 gilt. Aus diesen beiden Erkenntnissen folgt, dass A für alle natürlichen Zahlen ab n0 gilt. Schließlich ist A für n0 gültig und aus dem Induktionsschritt folgt, dass A dann auch für n0+1 gilt, woraus wiederum folgt, dass A für n0+2 gilt, usw.
BegriffsherkunftDie Induktion leitet sich aus dem lateinischen „inducere” ab, was so viel wie „hineinführen” heißt. Bei der Induktion als logische Methode geht es darum, von einem speziellen Fall auf das Allgemeine zu schließen. Es handelt sich also um das Gegenteil der Deduktion.
Konkret wird bei der vollständigen Induktion die Gültigkeit einer Aussage im speziellen Fall der natürlichen Zahl n0 untersucht (Induktionsanfang) und darauf auf die Gültigkeit dieser Aussage für allgemeine Fälle (alle natürlichen Zahlen) geschlossen. Die mathematische Methode trägt den Zusatz „vollständig”, um sich vom philosophischen Prinzip abzugrenzen und die Gültigkeit als Beweisverfahren zu kennzeichnen.

Die Philosophie, als logische Wissenschaft, beschäftigt sich schon lange mit diesen beiden Methoden (Induktion und Deduktion) zur Erlangung von Wissen. Über die Methoden der Induktion und der Deduktion wird dabei kontrovers diskutiert. Es gibt Philosophen, die behaupten, man könne Wissen nur durch Induktion erlangen und es gibt auf der anderen Seite diejenigen, die meinen, die Deduktion sei der „richtige” Weg.

Anwendung der vollständigen InduktionIn diesem Abschnitt werde ich die vollständige Induktion zum Beweis von mehreren Summenformeln nutzen, unter anderem die Gaußsche Summenformel für natürliche Zahlen, die Summenformel für Quadratzahlen und die Summenformeln für Kubikzahlen. Dabei werde ich das Vorgehen beim ersten Beweis anhand der Gaußschen Summenformel erläutern. Die natürlichen Zahlen sind hier definiert als N=1, 2, 3,….Gaußsche SummenformelDie Gaußsche Summenformel, auch „kleiner Gauß” genannt, ist die Formel zur Addition aller natürlichen Zahlen bis n. Es wird erzählt, Gauß sei diese Formel eingefallen, als er von seinem Lehrer die Aufgabe bekam, alle ersten 100 natürliche Zahlen zu addieren. Gauß bemerkte, dass es in diesem Bereich von 1-100 genau 50 Zahlenpaare gibt, die alle in Summe 101 ergeben (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, …). Damit hatte er die Summenformel für natürliche Zahlen gelöst, und das mit einem Alter von neun Jahren. Die Summenformel, die es zu prüfen gilt, lautet dabei:
An = i=1ni = n?(n+1)2 .Induktionsanfang
Da es sich um eine Formel für alle natürlichen Zahlen handelt, müssen wir überprüfen, ob die Gaußsche Summenformel überhaupt für die kleinste natürliche Zahl n0 = 1 gilt. Dazu setzen wir auf beiden Seiten der Gleichung ein und berechnen und vergleichen, ob sich das Ergebnis auf beiden Seiten gleicht:
A1 = i=11i = 1?1+12 1 = 1. Die Summenformel scheint also zumindest für die natürliche Zahl 1 zu stimmen.

Induktionsbehauptung
Nach dieser Feststellung folgt die Annahme, dass, für alle Zahlen größer oder gleich n0 = 1, aus der Gültigkeit von A(n) die Gültigkeit von A(n+1) folgt. Formal: ? n?N ? n?n0 : An?An+1.Induktionsschritt
Nun gilt es, diese Annahme zu überprüfen. Dies tun wir, indem wir prüfen, ob beide Summenformeln (die Formelle und die Gaußsche Lösung) sich äquivalent im Vergleich zu A(n) verändern, wenn wir n+1 einsetzen. Dazu nutzen wir erst den Trick, das letzte Glied (n+1) aus der linken Summenformel herauszuziehen. Dann können wir, da wir annehmen, dass A(n) gilt, für die linke Summenformel die Gaußsche einsetzen.

An+1 = i=1n+1i = (n+1)?(n+2)2= i=1ni+(n+1) = (n+1)?(n+2)2= n?(n+1)2+n+1 = (n+1)?(n+2)2.Durch Umformen erhält man:
n?n+1+2?(n+1)2 = (n+1)?(n+2)2 n+2?n+12 = (n+1)?(n+2)2. Da die Gaußsche Summenformel für A(n), mit dem nächsten Glied (n+1) addiert, das gleiche ergibt wie die Summenformel für A(n+1), folgt die Gültigkeit von A(n+1) aus der Gültigkeit von A(n). Die Formel ist damit bewiesen. Q.E.D.

Summenformel für QuadratzahlenDie Summenformel für die Quadratzahlen bis n² lautet:
An = i=1ni2 = n?n+1?2n+16 .Induktionsanfang
Hier ist es wieder sinnvoll, die Formel für n0 = 1 zu überprüfen.

A1 = i=11i2 = 1?1+1?2+16 1 = 1. Die Summenformel stimmt für die natürliche Zahl 1.

Induktionsbehauptung
? n?N ? n?n0 : An?An+1.Induktionsschritt
Wir überprüfen diese Annahme wieder, indem wir die Gleichungen auf die gleiche Weise wie im ersten Beweis umformen:
An+1 = i=1n+1i2 = (n+1)?n+2?2n+36= i=1n(i2)+n+12 = (n+1)?n+2?2n+36= n?n+1?2n+16+n+12 = (n+1)?n+2?2n+36= n?n+1?2n+1+6n+126 = (n+1)?n+2?2n+36= n2+n?2n+1+6n+126 = (n2+3n+2)?2n+36= 2n3+3n2+n+(6n2+12n+6)6 = 2n3+3n2+6n2+9n+4n+66 = 2n3+9n2+13n+66 = 2n3+9n2+13n+66 . Die Summenformel der Quadratzahlen gilt für alle natürlichen Zahlen. Q.E.D.

Summenformel für KubikzahlenDie Summenformel für die Kubikzahlen bis n³ lautet:
An = i=1ni3 = n²?n+124 .Induktionsanfang
Hier ist es ebenfalls wieder sinnvoll, die Formel für n0 = 1 zu überprüfen.

A1 = i=11i3 = 1²?1+124 . 1 = 1. Die Summenformel stimmt für die natürliche Zahl 1.

Induktionsbehauptung
? n?N ? n?n0 : An?An+1.Induktionsschritt
An+1 = i=1n+1i3 = (n+1)²?n+224= i=1n(i3) +n+13 = (n+1)²?n+224= n²?n+124+n+13 = (n+1)²?n+224= n2?n+12+4n+134 = (n+1)²?n+224= n2?(n2+2n+1)+4(n3+3n2+3n+1)4 = n2+2n+1?(n2+4n+4)4= n4+6n3+13n2+12n+44 = n4+6n3+13n2+12n+44 . Die Summenformel der Kubikzahlen gilt für alle natürlichen Zahlen. Q.E.D.

Verknüpfung zur IntegrationDie eben bewiesenen Summenformeln eignen sich auch für die Herleitung der Integrale von Potenzfunktionen. Dies ist hier am einfachen Beispiel des Integrals der linearen Funktion f(x) = x gezeigt, kann man aber auch für alle anderen Potenzfunktionen zeigen (wobei man dann eine andere Summenformel benötigt).

Das Integral dient der Berechnung der Fläche zwischen x-Achse und Graph von f in einem bestimmten Intervall. Der häufigste Ansatz zur Berechnung dieser Fläche bzw. zur Herleitung der Integralfunktion ist, die Fläche in gleich breite Rechtecke zu zerlegen, welche man einfach berechnen und aufaddieren kann, wodurch man die Gesamtfläche erhält. Dies wird das „Riemannsche Integral” genannt.
Es sei eine Funktion f(x) = x gegeben, dessen Fläche im Intervall 0; b durch die Untersumme berechnet werden soll. Dann wird die Fläche zwischen Graph von f und x-Achse im Intervall in n ? ? gleich breite Rechtecke mit der Höhe f(x) zerlegt. Daraus folgt, dass die Breite dieser Rechtecke ?x=bn sein muss. Die Höhe eines Rechtecks kann entweder durch die linke Grenze oder durch die rechte Grenze der Rechtecke gewählt werden. Je nach Wahl berechnet man die Ober- oder Untersumme als Fläche (hier steht die linke Grenze für die Untersumme). Die Fläche lässt sich durch die Untersumme dann mit Hilfe einer Summenformel so berechnen:
A = i=0n-1fi??x??x = i=0n-1i?bn?bn = i=1n-1i?b2n2 .Da jeder Summand dieser Summe den Faktor b2n2 enthält, kann dieser aus der Summenformel gezogen werden (Distributivgesetz):
A = b2n2 ? i=1n-1i . Wir haben also ein Produkt aus einem konstanten Faktor und einer Summenformel für natürliche Zahlen, beginnend bei i=1. Nach den Erkenntnissen aus Abschnitt 3.1 gilt für diese die Gaußsche Summenformel und wir können einsetzen:
A = b2n2 ? n-1?n2 = b2n2 ? n2-n2 = b2?n22?n2- n2= 12?b2- n2 .Durch Einsetzen der Gaußschen Summenformel und Umformen erhält man das Endresultat A= 12?b2-n2 . Dies entspricht also der Fläche im Intervall bis b, wobei n die gewählte Genauigkeit ist. Im Vergleich zur Stammfunktion F(x) = 0,5x² von f unterscheidet sich unser Ergebnis lediglich um einen konstanten Summanden -n2, der der Rest der Ungenauigkeit der Berechnung durch die Untersumme ist. Berechnet man stattdessen die Übersumme, stellt man fest, dass diese sich von der Stammfunktion um einen konstanten Summanden +n2 unterscheidet. Zieht man die jeweiligen Reste voneinander ab, ergibt dies 0 und die Fläche gleicht dann unserer Stammfunktion (für F(b)).

FazitEs hat sich gezeigt, dass die vollständige Induktion eine nützliche und vor allem einfache Beweismethode ist, um Aussagen und Formeln für natürliche Zahlen zu beweisen. Wir haben am Beispiel drei verschiedener Summenformeln gezeigt, wie man die vollständige Induktion anwendet und schließlich mit Hilfe einer dieser zuvor bewiesenen Summenformel eine Integralfunktion näherungsweise hergeleitet und so einen Bezug zum Unterricht geboten.
Doch einige Mathematiker stehen der vollständigen Induktion kritisch gegenüber. Es wird unter anderem das Argument genannt, sie sei kein empirisch induktives Verfahren, sondern lediglich ein weiteres deduktives Prinzip. Außerdem meinen manche, dass diese Methode logische Fehlschlüsse enthält, weil man nur wegen der Annahme der Gültigkeit einer Aussage auf die Gültigkeit der Aussage für die nächsthöhere natürliche Zahl schließt.

Ich persönlich kann diese Gegenargumente jedoch nicht nachvollziehen. Die vollständige Induktion ist meines Erachtens nach vollständig logisch nachvollziehbar.

LiteraturverzeichnisBIBLIOGRAPHYBrünner, A. (2005). Summe der Kubikzahlen von 1 bis n³. Abgerufen am 22. Februar 2018 von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm
Brünner, A. (2006). Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n und der Quadratzahlen bis n². Abgerufen am 20. Februar 2018
Merz, M., & Wüthrich, M. V. (2013). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen. Vahlen.

Sepp. (2018). I. Integralrechnung 1. Abgerufen am 22. Februar 2018 von http://schule.bayernport.com/if/if_01.pdf
Sponsel, R. (2015). Beweis und beweisen in Mathematik und Logistik. Abgerufen am 22. Februar 2018 von http://www.sgipt.org/wisms/gb/beweis/b_mathe.htm#Vollst%C3%A4ndige Induktion
Strauß, T. (2009). Vollständige Induktion. Abgerufen am 15. Februar 2018 von http://rho.math.uni-rostock.de/SemSkripte/Induktion_Strauss.pdf
Wikipedia. (2018). Vollständige Induktion. Abgerufen am 21. Februar 2018 von https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vollst%C3%A4ndige_Induktion&oldid=174274963

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